В 1998 году окончил факультет театра кукол СПбГАТИ (мастерская профессора Н.П.Наумова). Дипломный спектакль – «Иуда Искариот. Предатель» – стал лауреатом Российской Национальной театральной Премии «Золотая Маска».
С 1998 по 2006 годы – художественный руководитель Национального хакасского театра кукол «Сказка» (Абакан). С 2006 по 2010 годы – главный режиссёр Эстонского кукольного и молодёжного театра в Таллине. С 2010 по 2012 годы – главный режиссёр театра кукол в Ческе-Буудеевице (Чехия). С 2008 по 2015 годы – президент Международного кукольного фестиваля «Ковчег» (Москва). В 2013 году основал в Праге (Чехия) кукольный театр Divadlo pod Šťastnou Hvězdou («Под счастливой звездой»). С 2019 по 2020 годы – главный режиссёр Красноярского театра кукол.
В 2006 году Евгению Ибрагимову было присвоено звание «Заслуженный деятель искусств России».
Лауреат Российской Национальной театральной Премии «Золотая Маска» – за спектакль «Иуда Искариот. Предатель» (1998)
Лауреат Российской Национальной театральной Премии «Золотая Маска» – за спектакль «Якоб Якобсон» (2002)
Лауреат Российской Национальной театральной Премии «Золотая Маска» – за спектакль «Athanatomania» (2005)
Лауреат Российской Национальной театральной Премии «Золотая Маска» – за спектакль «Оскар и Розовая Дама» (2005)
Лауреат премии РФ им. Фёдора Волкова за заслуги и развитие театрального искусства в России (2003)
Лауреат премии Союза театров Эстонии Salme Reek (2009)
Обладатель почётного звания «Мастер школы» СТД РФ (2011)
Специальный приз V Международного фестиваля театров кукол «В гостях у Арлекина» (2015)
Лауреат Российской Национальной премии в области театрального искусства для детей «Арлекин» – за постановку спектакля «Когда я снова стану маленьким» (2015)
Лауреат Российской Национальной театральной Премии «Золотая Маска» – за спектакль «Когда я снова стану маленьким» (2016)
Лауреат Высшей театральной премии Санкт-Петербурга «Золотой Софит» в номинации «лучшая работа режиссёра» – за постановку спектакля «Блаженный остров» (2017)
Лауреат Государственной премии имени К.С.Станиславского (2018)